Wasserstein distance and the rectifiability of doubling measures: part II

We study the structure of the support of a doubling measure by analyzing its self-similarity properties, which we estimate using a variant of the L-1 Wasserstein distance. We show that a measure satisfying certain self-similarity conditions admits a unique (up to multiplication by a constant) flat tangent measure at almost every point. This allows us to decompose the support into rectifiable pieces of various dimensions. So it mu une mesure doublante dans R. On introduit deux parties du support ou mu a certaines proprietes d'autosimilaritee, que l'on mesur a l'aided'une variante de la L-1-distance de Wasserstein, et on montre qu'en chaque point de ces deux parties, toutes les mesures tangentes a mu sont des multiples d'une mesure plate (la mesure de Lebesgue sur un sous-espace vectoriel). On utilise ceci pour donner une decomposition de ces deux parties en ensembles rectifiables de dimensions diverses.